La APP la instalo desde el icono de instalación que viene en el propio firestick.
Que no veas el dispositivo en el grupo de los que estan reproduciendo es normal ya que no consigues que reproduzca nada.
Yo tengo 2 Fire TV con la app oficial y sin problemas.
Si dices que se desconfigura la red y que se reinicia el Fire creo que el problema tiene más que ver con el stick que con la app. ¿Has provado otras app como Netflix o Kodi?
Sólo tengo dos App gordas. Netflix y Digital Concert Hall (Filarmónica de Berlin) y las dos funcionan muy bien.
Excepto cuando entro primero a hacer probatinas con Movistar. Parece como si la APP (oficial) descolocara todo en el Firestick y se volviera loco, con respuestas impredecibles.
