Pues baja y mira la CTO a ver si es verdad que está tan saturada, llevan un número úsalo en todas las reclamaciones. En este blog en un post de 2015 hablan de que cada CTO admite 64 usuarios (La configuración habitual suele estas formada por un splitter 1:4 y a continuación splitter 1:16, dando servicio a un total de 4 x 16 = 64 usuarios)
http://fibraoptica.blog.tartanga.eus/2015/01/17/donde-estan-los-splitter-opticos-en-la-red-ftth-de-movistar/
http://fibraoptica.blog.tartanga.eus/2014/07/04/analisis-de-los-equipos-utilizados-en-una-instalacion-ftth-de-movistar/
Pregunta a tus vecinos a ver cuantos tienen fibra con Movistar, a mi no me cuadra eso de que la CTO este saturada creo que los diferentes operadores no las comparten, que usan cada una la suya como puedes ver aqui 
De todas formas poner una nueva CTO es sacar un cable nuevo de donde viene el saturado y enganchar a la pared una nueva, complicadisimo no es, que no quieran gastar ya es otra historia pero complicadisimo no es.
En cuanto a cortar el cable no se porque lo van a cortar, si hablan del par de cobre lo que pueden hacer es desconectarlo en la central pero otra empresa puede reconectartelo como se ha hecho toda la vida cuando cambiabamos de ADSL, yo en mi casa aun sigo conservando el par de cobre, me supongo que con el tiempo harán limpiezas de pares de cobres en las canalizaciones de las calles de los edificios que todos los vecinos usan fibra, igual que irán cerrando centrales de ADSL en zonas que todos los vecinos usan fibra.
Lo que esta claro es que no te pueden dejar sin comunicaciones, si llegan a hacerlo y se niegan a darte la fibra pon las respectivas reclamaciones en estos servicios:
Atención al cliente Telefónica
Servicio de Defensa del Cliente de Telefónica
Oficina de Atención al Usuario de Telecomunicaciones
