Buenas Pablo MVT
Cuando envías un correo electrónico lo harás o por Web o por un gestor de correo como Thunderbird/Outlook...
Si es mediante Web, la única que recibe tu IP es la web del correo electrónico, y te funcionará bien. Redactas el correo lo envías... y es la IP del servidor de correo la que le llegará al servidor de correo del otro lado. Si es mediante un gestor de correo estará configurado un servidor SMTP que será el que use tu proveedor de correo, y el proceso es similar, tu envías el correo al servidor SMTP de tu proveedor, y ese envía el correo al servidor remoto, la IP que ve el servidor remoto (el destinatario) es la de tu proveedor.
A veces sí puede pasar que la IP del servidor de correo de tu proveedor esté en una lista negra. Es decir, pongamos por caso que tu correo es loquesea@lascosasdecasa.es, ese dominio tendrá un proveedor de correo electrónico y requerirá por ende un servidor de correo. La IP de dicho servidor si podría estar en una lista negra y eso si podría causar problemas, pero en dicho caso es el proveedor de correo quien tiene que actuar.
En cualquier caso, en lo relativo a esto, es muy sencillo saber que pasa. Si envías un correo y por el motivo que sea no llega de verdad, el 99% de los proveedores de correo a los que les envías el correo te responden con el error y el motivo por el cual no se ha podido entregar el correo. Si usáis un correo electrónico empresarial, es decir con dominio propio, es muy habitual tener problemas de envío/recepción a otras cuentas de dominio propio (es decir no genéricos como gmail, hotmail, mail...), no por la línea, sino porque muchos usan proveedores de correos bastante cutres, sin las medidas antispam que deberían de implementar, la falta de SPF/DKIM/DMARC...
Respecto a problemas a entrar a alguna página segura es diferente. En un momento puntual la red del ISP, Movistar en este caso, puede tener un problema de enrutado en la red que hace que un destino no sea alcanzable. No es algo que pase ni mucho menos a diario ni constantemente, es puntual, se reporta y listo. Se puede conocer que Web por ejemplo?? Se comprueba en dos segundos. Si os han dicho que es por eso, me temo que os están asesorando bastante mal, y quien lo ha dicho no tiene mucha idea, con perdón.
Por otro lado, no estaría de más que verificases, esto solo afectaría a algunas páginas, que NO TENÉIS el servicio de "Conexión Segura" habilitada, que puede dar problemas muchas veces para acceder a algunas Webs.
En cualquier caso como te digo, a menos que sean servicios propios hospedados en la misma red como servidores Web, Servidores de correos electrónico y cosas así (para lo cual se necesita IP fija al igual que resoluciones inversas DNS), la IP es totalmente indiferente, y ya te digo que TODOS los que la usamos dinámica aparecerá en listas negras por el simple echo de ser dinámica, y no nos limita en nada (en casi nada, hospedar servicios concretos ya mencionados sí, claro, que no es tu caso.)