Buenas LEVIATHAN
Es cierto que en parte el Router puede ser responsable de que los Whats puedan llegar antes o más tarde, aunque más correctamente por como se tenga configurado el Router y por como gestione el teléfono los estados de baja energía.
Para que nuestros dispositivos a batería puedan durar lo que duran, requieren de un estado llamado "sueño profundo", es el que hace que te pueda durar todo el día o incluso más la batería del móvil, de lo contrario te duraría pocas horas. Esto se consigue de muchas maneras, pero entre otras cosas también suprimiendo en la medida de lo posible todas las comunicaciones. Para que un Whats o cualquier otro servicio fuese totalmente instantáneo (independientemente de la latencia), el teléfono tendría que estar en todo momento recibiendo datos en tiempo real, y eso implicaría que no podría entrar en sueño profundo.
Para lograr esto se hacen uso de diferentes tecnologías, pero en lo que nos atañe, las propias especificaciones WIFI hacen uso de diferentes estándares para evitar estar despertando constantemente a los dispositivos. Por ejemplo mediante DTIM y APSD. Al final la idea de todo ello siempre es la misma... en vez de enviar en tiempo real cada paquete de datos, se usa un buffer que los almacena, para mandarlos todos juntos. Es decir, evita en la medida de lo posible "despertares". Mejor despertar una sola vez, que despertarlo 100 veces.
Estos estándares van a depender en cualquier caso tanto del terminal como de como se configure el Router. Por ejemplo, en el Router, si estableces un valor de DTIM bajo, como 1 o 2, lo normal es que la información llegue ligeramente antes, pero hará que sufra la batería de todos los dispositivos. En el caso de que se pudiese deshabilitar APSD lo mismo. Hay configuraciones que son únicamente del Router, por ejemplo DTIM. Otras en cambio es el propio dispositivo quien la configura y gestiona.
El problema es llegar a un compromiso entre comodidad y batería. Si te pasas de frenada te quedas sin batería. Si los usuarios configurasen correctamente WIFI y tomasen en serio las pautas que por lo general se dan sobre toda su red, la batería de sus terminales estando en casa usando WIFI dudaría bastante más. Incluso usando ajustes concretos de APN, también. La teoría y práctica es simple: Menos despertar? Más batería. Más despertar? menos batería.
Saludos.